Ejercicios unidad 3
3.0 Escribe en forma ordenada las definiciones de:
- espacio vectorial
- combinación lineal
- conjunto linealmente independiente
- base de un espacio vectorial
- dimensión de un espacio vectorial
3.1 Verifica que los siguientes conjuntos son espacios vectoriales (con la suma y multiplicación por escalar natural):
- El conjunto Pol_10 de polinomios de grado menor o igual a 10
- El conjunto Mat_3x4 de matrices de 3x4
- El conjunto C[-1,1] de funciones continuas definidas sobre [-1,1]
- El conjunto c_0 de sucesiones de números reales {a_1,a_2,a_3,….} que convergen a 0
- La imagen Ran A de una matriz cualquiera A
- El kernel Ker A de una matriz cualquiera A
- El span S de cualquier conjunto S (¡no necesariamente finito!) de vectores de un espacio vectorial V
3.2 Verifica que los siguientes conjuntos NO son espacios vectoriales:
- El conjunto de polinomios de grado igual a 10
- El conjunto de matrices invertibles de 4x4
- El conjunto de puntos (x,y,z) tales que x+y+z=1
3.3 Encuentra una base y la dimensión de Pol_10 y de Mat_3x4.
3.4 Demuestra que imposible encontrar una base con cardinalidad finita para los espacios C[-1,1] y c_0.
3.5 Escribe un algoritmo para encontrar una base para el Ran A para una matriz dada A.
3.6 Escribe un algoritmo para encontrar una base para el Ker A para una matriz dada A.
3.7 Sea S un subconjunto no vacío de vectores de V. Demuestra que span S es un espacio vectorial de dimensión finita si es un conjunto finito.
3.8 Sea V un espacio vectorial, se dice que un conjunto W (diferente del vacío) es un SUBESPACIO de V si para todo w_1 y w_2 in W y para cualquier par de escalares α_1 y α_2 se cumple que α_1w_1+α_2w_2 está en W. Verifica lo siguiente:
- El conjunto Pol_4 de polinomios de grado menor o igual a 4 es un subespacio de Pol_10.
- El conjunto Sym_4x4 de matrices simétricas de 4x4 es un subespacio de Mat_4x4.
- El conjunto de funciones continuas y pares definidas sobre [-1,1] es un subespacio de C[-1,1].
- El conjunto de c_00 de sucesiones de números reales que convergen a 0, con un número finito de elementos distintos de cero es un subespacio de c_0.
- El conjunto de vectores en R^8 ortogonales al plano generado por (1,1,0,1,0,0,0,0) y (0,1,0,1,0,0,0,0) es un subespacio de R^8.
3.9 Encuentra la dimensión de cada uno de los subespacios vectoriales del ejercicio 3.8
3.10 Prueba o da un contrajemplo: “La intersección de dos subespacios vectoriales es también un espacio vectorial”
3.11 Escribe un algoritmo que verifique si un conjunto de m vectores en R^n es linealmente independiente o no.
3.12 Demuestra que no puede haber un conjunto de m vectores linealmente independiente en R^n si m>n.
3.13 Considere el conjunto de numeros reales con la suma definida por a + b = a x b y multiplicación por escalar definida por α a = a^α. ¿Es este conjunto un espacio vectorial?
3.14 Escribe un algoritmo que decida si un conjunto de polinomios en Pol_10 es linealmente independiente o no.
3.15 Sea V un espacio vectorial (de dimensión finita). Busque en la literatura la demostración de que dos bases de V deben de tener el mismo número de elementos.
3.16 Sea A una matriz, con renglones R_1, R_2, … R_m. Sea B la forma escalonada reducida de A con renglones R_1’, R_2’, … R_n’. Demuestre que span {R_1, R_2, … R_m} = span {R_1’, R_2’, … R_n’}.
3.17 Sean v=(1,2,1) y w=(1,-1,0) dos vectores en R^3. En la clase hemos visto que el span{v,w} es un subespacio de R^ 3 bidimensional (un plano que pasa por el origen). Considere el conjunto H = span{v,w} + u donde u=(1,1,1). Es decir, H es un hiperplano. Encuentra la ecuación correspondiente a este hiperplano, es decir, una ecuación tal que el conjunto de soluciones sea justamente H.
3.18 Considere el sistema de ecuaciones Az=b (★), con matriz A y vector b fijos. Demuestra que el conjunto de soluciones de (★) es igual al conjunto de vectores de la forma z = x + x_0 donde x está en el Kernel de A y x_0 es una solución de (★). ¿Qué significa esto geométricamente?
3.19 Demuestre que la dim Ran A = dim Ran A^T.